Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CB,CD$ và $G$ là trọng tâm của $\Delta SBD$. Biết $H$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(GMN)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $S$ là đỉnh của hình chóp, không thuộc mặt đáy $(ABCD)$. b) Đúng: $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$; $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên giao tuyến là $SO$. c) Đúng: Trong tam giác $CBD$, $MN\parallel BD$ và $MN$ cắt $AC$ tại $P$. Trong mặt đáy, $P$ thỏa $P$ thuộc đoạn $OC$ với $OP=PC$, tức $P$ là trung điểm $OC$; vì $P\in AC\subset (SAC)$ nên $P$ là giao điểm của $MN$ và $(SAC)$. d) Sai: Tọa độ hóa $S(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0)$, ta có $G(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, $M(1,\frac{1}{2},0)$, $N(\frac{1}{2},1,0)$. Mặt phẳng $(GMN)$ có vtpt $\vec{n}=(\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{5}{12})$, phương trình $\frac{1}{6}(x-\frac{1}{3})+\frac{1}{6}(y-\frac{1}{3})+\frac{5}{12}(z-\frac{1}{3})=0$. Điểm $(0,0,t)\in SA$ thuộc mặt phẳng khi $-\frac{1}{9}+\frac{5}{12}(t-\frac{1}{3})=0\Rightarrow t=\frac{3}{5}$. Vậy $H$ cách $A$ một khoảng $\frac{3}{5}SA$, suy ra $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ là đỉnh chóp nằm ngoài mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên $S\notin (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng cùng chứa $S$; $AC\cap BD=O$ nên giao tuyến là $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel BD$ (đường trung bình tam giác $CBD$), cắt $AC$ tại trung điểm của $OC$, điểm này thuộc $(SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa cho $H$ trên $SA$ với $AH=\frac{3}{5}SA$, suy ra $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.