Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($a\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.



Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta thấy:
- Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}>0\Rightarrow c,d$ trái dấu.
- Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0\Rightarrow a,c$ cùng dấu.
- Giao điểm với trục tung $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ có tung độ âm: $\frac{b}{d}<0\Rightarrow b,d$ trái dấu.
- Giao điểm với trục hoành $\left(-\frac{b}{a};0\right)$ có hoành độ âm: $-\frac{b}{a}<0\Rightarrow \frac{b}{a}>0\Rightarrow a,b$ cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, chọn $c>0\Rightarrow a>0,d<0,b>0$.
Xét hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$.
Vì $a>0$ và $c>0$ nên $3a\cdot c>0$, suy ra phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$? Khoan, xét dấu: giao điểm với trục tung và hoành:
Đồ thị cắt $Oy$ ở phía dưới gốc $O$, cắt $Ox$ ở bên trái gốc $O$, hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có $3a\cdot c<0$ khi xét chuẩn các hệ số của hình vẽ, do đó hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị trái dấu.