Tính tổng $T$ của các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $e^x+(m^2-m)e^{-x}=2m$ có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $\frac{1}{\log e}$.

Ta có $\frac{1}{\log e}=\ln 10$.
Phương trình tương đương: $e^{2x}-2m{e}^x+m^2-m=0$.
Đặt $t=e^x$. Vì $x<\ln 10$ nên $0<t<10$.
Phương trình trở thành $t^2-2mt+m^2-m=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $\ln 10$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $0<t_1<t_2<10$.
Điều này tương đương với:
${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-m)=m>0$.
$t_1+t_2=2m>0\Rightarrow m>0$.
$t_1{t}_2=m^2-m>0\iff m(m-1)>0\Rightarrow m>1$.
$(t_1-10)(t_2-10)>0\iff t_1{t}_2-10(t_1+t_2)+100>0\iff m^2-m-20m+100>0\iff m^2-21m+100>0$.
Nghiệm của $m^2-21m+100=0$ không có nghiệm thực ($\Delta =21^2-400=41>0$), nghiệm là $\frac{21\pm \sqrt{41}}{2}\approx 7,3$ và $13,7$.
Kết hợp điều kiện $\frac{t_1+t_2}{2}=m<10$, ta có $1<m<\frac{21-\sqrt{41}}{2}\approx 7,298$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{2,3,4,5,6,7\}$.
Tổng $T=2+3+4+5+6+7=27$.