Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\frac{1}{3}|{\cos }^{3}x|-3{\cos }^{2}x+5|\cos x|-3+2m=0$ có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[0;2\pi ]$.

Đặt $t=|\cos x|$. Với mỗi $t\in (0;1)$, phương trình $|\cos x|=t$ có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc $[0;2\pi ]$.
Với $t=0$, có 2 nghiệm; với $t=1$, có 3 nghiệm ($0,\pi ,2\pi$).
Do đó phương trình ban đầu có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc $[0;2\pi ]$ khi và chỉ khi phương trình theo $t$:
$g(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+3t^2-5t+3=2m$
có đúng một nghiệm $t\in (0;1)$ và không có nghiệm nào khác thuộc $[0;1]$.
Xét hàm số $g(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+3t^2-5t+3$ trên $[0;1]$:
$g^{\prime }(t)=-t^2+6t-5=-(t-1)(t-5)<0,\forall t\in (0;1)$.
Hàm số $g(t)$ nghịch biến trên $[0;1]$ với $g(0)=3$ và $g(1)=\frac{2}{3}$.
Do đó để phương trình có đúng 1 nghiệm $t\in (0;1)$ thì $g(1)<2m<g(0)\iff \frac{2}{3}<2m<3\iff \frac{1}{3}<m<\frac{3}{2}$.