Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ $(ac\ne 0,ad-bc\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Trong các hệ số $a,b,c,d$ có bao nhiêu số dương?

Dựa vào đồ thị hàm số, ta xác định:

Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=1$ hay $x=-\frac{d}{c}=1\iff c=-d$.

Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=-1$ hay $y=\frac{a}{c}=-1\iff c=-a$.

Giao điểm với trục hoành $(Ox)$: Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$.

Thay $y=0$ vào ta có $ax+b=0\iff x=-\frac{b}{a}\iff -\frac{b}{a}=2\iff b=-2a$.

Giao điểm với trục tung $(Oy)$: Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$.

Thay $x=0$ vào phương trình ta có $y=\frac{b}{d}\iff \frac{b}{d}=-2\Rightarrow b=-2d$.

Từ đó ta suy ra $a,d$ cùng dấu và $b,c$ cùng dấu. Bên cạnh đó $a,d$ trái dấu $b,c$.

Từ đó suy ra trong bốn số $a,b,c,d$ luôn có hai số dương và hai số âm.