Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{6}{x}^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Biết hàm số $g(x)=[f^{\prime }(x){]}^2-2f^{\prime \prime }(x)f(x)+[f^{\prime \prime \prime }(x){]}^2$ có 3 điểm cực trị $x_1<x_2<x_3$ và $g(x_1)=2,g(x_2)=5,g(x_3)=1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)+1}$ và trục $Ox$ bằng

Vì $f(x)=\frac{1}{6}{x}^3+a{x}^2+bx+c$ nên đạo hàm cấp ba là $f^{\prime \prime \prime }(x)=1$.
Đạo hàm của $g(x)$:
$g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)f^{\prime \prime }(x)-2\left[f^{\prime \prime \prime }(x)f(x)+f^{\prime \prime }(x)f^{\prime }(x)\right]+0=-2f^{\prime \prime \prime }(x)f(x)=-2f(x).$
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)+1}$ với trục $Ox$ là:
$h(x)=0\iff f(x)=0\iff g^{\prime }(x)=0.$
Vì đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên $f(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt $x_1<x_2<x_3$, cũng chính là 3 điểm cực trị của hàm số $g(x)$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $h(x)$ và trục $Ox$ là:
$S={\int }_{x_1}^{x_3}|h(x)|\mathrm{d}x={\int }_{x_1}^{x_3}\left|\frac{f(x)}{g(x)+1}\right|\mathrm{d}x={\int }_{x_1}^{x_2}\left|\frac{f(x)}{g(x)+1}\right|\mathrm{d}x+{\int }_{x_2}^{x_3}\left|\frac{f(x)}{g(x)+1}\right|\mathrm{d}x.$
Vì $f(x)=-\frac{1}{2}{g}^{\prime }(x)$, ta có:
$\int \frac{f(x)}{g(x)+1}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)+1}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\ln |g(x)+1|.$
Do đó:
$S=\frac{1}{2}\left|{\int }_{x_1}^{x_2}\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)+1}\mathrm{d}x\right|+\frac{1}{2}\left|{\int }_{x_2}^{x_3}\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)+1}\mathrm{d}x\right|.$
Thay các giá trị $g(x_1)=2,g(x_2)=5,g(x_3)=1$:
- ${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)+1}\mathrm{d}x=\ln (g(x_2)+1)-\ln (g(x_1)+1)=\ln 6-\ln 3=\ln 2$.
- ${\int }_{x_2}^{x_3}\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)+1}\mathrm{d}x=\ln (g(x_3)+1)-\ln (g(x_2)+1)=\ln 2-\ln 6=-\ln 3$.
Suy ra:
$S=\frac{1}{2}|\ln 2|+\frac{1}{2}|-\ln 3|=\frac{1}{2}(\ln 2+\ln 3)=\frac{\ln 6}{2}.$

Chọn đáp án B.