Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{C}^{\prime }=\sqrt{3}$. Biết rằng các khoảng cách từ các điểm $A^{\prime },B,D$ đến đường thẳng $A{C}^{\prime }$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích $S=\frac{\sqrt{6}}{12}$, thể tích của khối hộp đã cho là

Gọi $G$ là giao điểm của đường chéo $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$ và $\frac{AG}{A{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, suy ra:
$AG=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Lấy điểm $K$ đối xứng với $B$ qua $G$. Dựng hình lăng trụ $GDK.APN$.
Dễ thấy khoảng cách giữa các cạnh bên của hình lăng trụ $GDK.APN$ chính là khoảng cách từ các đỉnh $A^{\prime },B,D$ đến đường thẳng $A{C}^{\prime }=AG$.
Do đó, thiết diện vuông góc của hình lăng trụ này có diện tích bằng diện tích tam giác tạo bởi ba khoảng cách trên, tức là $S=\frac{\sqrt{6}}{12}$.
Thể tích khối lăng trụ $GDK.APN$ là:
$V=AG\cdot S=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{3\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12}.$
Mặt khác, thể tích khối lăng trụ $GDK.APN$ bằng thể tích khối tứ diện $A.A^{\prime }BD$ và bằng $\frac{1}{6}$ thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
Do đó, thể tích của khối hộp đã cho là:
$V_{\text{hộp}}=6V=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Chọn đáp án A.