Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M$ thuộc $(C)$ có hoành độ $x_0=-2$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-2}{x+1}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$. a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ có hoành độ $x_0=-2$ chính là $f^{\prime }(-2)$, nên ý a) Đúng. b) $f^{\prime }(x)-2=0\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt, ý b) Đúng. c) Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$, ý c) Đúng. d) $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm không xác định nên không có $f^{\prime }(-1)$, do đó khẳng định $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ là Sai. Kết quả Đúng–Đúng–Đúng–Sai khớp với đáp án mã đề 0101 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm hoành độ $x_0=-2$ bằng $f^{\prime }(-2)=\frac{2}{(-2+1{)}^2}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$, hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-2$ vì $x-(-2)=x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm số không xác định nên không thể có $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.