Cho hàm số $y=f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$ và hai điểm $A(4;2);B(-2;8)$.

a) Đúng: Trên $[0;2]$, hàm số liên tục và $y^{\prime }=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0$, nên $m=f(0)=-2$ và $M=f(2)=\frac{4}{3}$. Suy ra $m+3M=-2+3\cdot \frac{4}{3}=2$.
b) Đúng: Với $\forall x\ne -1$, $y^{\prime }=\frac{3(x+1)-(3x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}$.
c) Sai: Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=3$, nên tâm đối xứng là $I(-1;3)$.
d) Đúng: Ta có $A(4;2)\in (C)$ và $B(-2;8)\in (C)$, đồng thời $\overrightarrow{AB}=(-6;6)$. Với $K(a;b)\in (C)$, xét điểm $H(2-b;2-a)$. Ta có $\overrightarrow{KH}=(2-a-b)(1;1)\perp \overrightarrow{AB}$, và $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BK}=(-2-b)(a+2)-a(b-8)=6a-2b-2ab-4=2(3a-2-b(a+1))=0$ (do $b=\frac{3a-2}{a+1}$). Vậy $H(2-b;2-a)$ là trực tâm $△KAB$. Vì $H\in d:5x-4y-3=0$ nên $5(2-b)-4(2-a)-3=0\iff 4a-5b-1=0\Rightarrow b=\frac{4a-1}{5}$. Thay vào $b=\frac{3a-2}{a+1}$ được $(4a-1)(a+1)=5(3a-2)\iff 4a^2-12a+9=0\iff a=\frac{3}{2}$, suy ra $b=1$. Khi đó $4a^2+3b=4\cdot \frac{9}{4}+3\cdot 1=12$.