Trong một bể xử lý nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm $t$ được kí hiệu bằng $N(t)$ (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm mũ và được mô hình hóa bởi hàm số $N^{\prime }(t)=A\cdot e^{kt}$, trong đó: $A,k$ là các hằng số dương, $t$ là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm (sau khi xử lý và làm tròn số liệu), người ta ước lượng được $A=1000\ln 2$ và tại thời điểm $t=1$ giờ có $3000$ vi khuẩn; $N^{\prime }(1)=2000\ln 2$. Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá $65000$ vi khuẩn.