Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ là đường thẳng có phương trình

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{m{x}^2+nx+p}{qx+r}$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Biết $F(x)=\frac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $(0;+\infty )$. Giá trị của ${\int }_1^{2}2[f(x)+x]dx$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Tập hợp nghiệm của bất phương trình ${\log }_{0,2}x>-1$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$ và hai điểm $A(4;2);B(-2;8)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1)$, $B(-2;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$.

Trong một bể xử lý nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm $t$ được kí hiệu bằng $N(t)$ (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm mũ và được mô hình hóa bởi hàm số $N^{\prime }(t)=A\cdot e^{kt}$, trong đó: $A,k$ là các hằng số dương, $t$ là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm (sau khi xử lý và làm tròn số liệu), người ta ước lượng được $A=1000\ln 2$ và tại thời điểm $t=1$ giờ có $3000$ vi khuẩn; $N^{\prime }(1)=2000\ln 2$. Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá $65000$ vi khuẩn.

Một hộp có chứa $10$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ (các quả bóng có cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Bạn Bắc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó và không trả lại. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu đỏ thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp.

Hai cột điện $AC,BD$ có cùng chiều cao được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $100$ mét ($AB=CD=100$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia (tham khảo hình vẽ) với $AC=BD$. Chọn hệ tọa độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục là $1$ mét. Khi đó, người ta thấy rằng dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y=223,5\left(e^{\frac{x}{447}}+e^{-\frac{x}{447}}\right)-430$, với $-50\le x\le 50$.

Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):y-2=0$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4-t\\ z=2\end{array}$ và hai điểm $A(-2;-6;22)$, $B(1;0;16)$. Hai điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA=2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1,AD=\sqrt{3}$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Biết khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\frac{\sqrt{15}}{5}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $AB,BC,CD$ và $DA$. Các cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{QM}},\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}},\stackrel{⌢}{\mathrm{NP}},\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}}$ lần lượt là các cung tròn của các đường tròn tâm $A,B,C,D$ với bán kính bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Biết diện tích “tứ giác cong” $MNPQ$ (miền bị gạch chéo trong hình vẽ) bằng $16(4-\pi ){\text{ dm}}^2$. Hỏi khi cho “tứ giác cong” $MNPQ$ quay quanh trục $NQ$ ta thu được vật thể có thể tích bằng bao nhiêu đềximét khối (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Chọn ngẫu nhiên cặp số bất kì $(x;y)$ thoả mãn $x,y$ thuộc tập hợp $\{2026;2026^2;2026^3;\dots ;2026^{24};2026^{25}\}$. Xét biến cố $A$: “${\log }_{x}y$ có giá trị là một số nguyên”. Biết rằng xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{a}{b}$ (với $a,b$ là các số nguyên dương, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản). Hiệu $a-b$ bằng bao nhiêu?

Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên (tham khảo hình vẽ), đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có toạ độ $(8;0)$ và đạt cực đại tại điểm có toạ độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất $3900$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc toạ độ bao nhiêu kilômét?