Một hộp có chứa $10$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ (các quả bóng có cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Bạn Bắc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó và không trả lại. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu đỏ thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp.

Gọi $X$ là biến cố “Bắc lấy được bóng màu xanh” và $E$ là biến cố “Trong số bóng hai bạn lấy ra có đủ cả bóng xanh và bóng đỏ”.
a) Đúng: $P(X)=\frac{10}{25}=0,4$ và $P(\overline{X})=\frac{15}{25}=0,6$.
b) Sai: Khi Bắc lấy được bóng xanh, hộp còn $9$ xanh và $15$ đỏ ($24$ quả). Xác suất Ninh lấy $2$ quả có ít nhất $1$ quả đỏ là $P(E\mid X)=1-\frac{C_9^2}{C_{24}^2}=1-\frac{36}{276}=\frac{20}{23}\approx 0,87$.
c) Sai: Khi Bắc lấy được bóng đỏ, hộp còn $10$ xanh và $14$ đỏ ($24$ quả). Xác suất Ninh lấy $3$ quả có ít nhất $1$ quả xanh là $P(E\mid \overline{X})=1-\frac{C_{14}^3}{C_{24}^3}=1-\frac{364}{2024}=\frac{415}{506}\approx 0,82$.
d) Đúng: Áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes:
$P(E)=P(X)P(E\mid X)+P(\overline{X})P(E\mid \overline{X})=0,4\cdot \frac{20}{23}+0,6\cdot \frac{415}{506}=\frac{176+249}{506}=\frac{425}{506}.$
$P(X\mid E)=\frac{P(X)P(E\mid X)}{P(E)}=\frac{176}{425}\approx 0,4141\approx 0,41.$