Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$. Bảng biến thiên của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như sau:

Bất phương trình tương đương: $m\le f(x)+\frac{1}{3}{x}^3-x^2=g(x)$ với mọi $x\in (0;3)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+x^2-2x$.
Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$ trên $(0;3)$, $f^{\prime }(x)\ge 1$.
Xét $h(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ge 0$, do đó $g^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x\in (0;3)$.
Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $[0;3]$, do đó ${\min }_{[0;3]}g(x)=g(0)=f(0)$.
Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in (0;3)$ thì $m\le f(0)$.