Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2(x^2-6x+8)$. Có bao nhiêu số nguyên $m\in [1;2024)$ để hàm số $g(x)=f(x^2+mx)$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$?

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-2)(x-4)$. Đạo hàm của $g(x)$ là:
$g^{\prime }(x)=(2x+m)f^{\prime }(x^2+mx)=(2x+m)(x^2+mx{)}^2(x^2+mx-2)(x^2+mx-4)$.
Với mọi $x\in (2;+\infty )$ và $m\in [1;2024)$, ta luôn có $2x+m>0$ và $(x^2+mx{)}^2\ge 0$.
Đặt $u(x)=x^2+mx$. Với $x>2,m\ge 1$ thì hàm số $u(x)$ đồng biến trên $(2;+\infty )$ và $u(x)>2^2+2m=4+2m\ge 6>4$.
Do $u(x)>4$ nên $u(x)-2>0$ và $u(x)-4>0\Rightarrow (u-2)(u-4)>0,\forall x>2$.
Suy ra $g^{\prime }(x)>0,\forall x>2$ với mọi $m\in [1;2024)$.
Số lượng số nguyên thỏa mãn là $2023-1+1=2023$. Vậy chọn A.