Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x^2+mx+9)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?

Điểm $x=1$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu qua $x=1$. Do đó để hàm số có đúng một điểm cực trị thì phương trình $x^2+mx+9=0$ hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc có hai nghiệm trong đó có nghiệm bằng 0. Vì hệ số tự do là 9 nên phương trình không có nghiệm $x=0$. Do đó điều kiện là $\Delta =m^2-36\le 0\iff -6\le m\le 6$. Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (hoặc trường hợp mở rộng loại $m=6$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.