Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=x^2(x+1)(x^2-2),\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f(x^3-3x+m)$ có đúng 7 điểm cực trị?

Chọn A
Ta có: $f^{\prime }(x)=0\iff x^2(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$.
Các nghiệm đơn và bội lẻ của $f^{\prime }(x)$ là $x\in \{-1;-\sqrt{2};\sqrt{2}\}$. Nghiệm $x=0$ là nghiệm bội chẵn (bội 2) nên qua đó $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
Đặt $u(x)=x^3-3x+m\Rightarrow u^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
Hàm số $u(x)$ có 2 điểm cực trị tại $x=-1$ (giá trị cực đại là $m+2$) và $x=1$ (giá trị cực tiểu là $m-2$).
Đạo hàm của $y=f(u(x))$ là $y^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(u(x))$.
Để hàm số có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(u(x))=0$ phải có 5 nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$.
Điều này tương đương với:
- $u(x)=\sqrt{2}$ có 3 nghiệm phân biệt $\iff m-2<\sqrt{2}<m+2$.
- $u(x)=-1$ có 1 nghiệm $\iff -1<m-2$ hoặc $-1>m+2$.
- $u(x)=-\sqrt{2}$ có 1 nghiệm $\iff -\sqrt{2}<m-2$ hoặc $-\sqrt{2}>m+2$.
Kết hợp các điều kiện trên và $m\in \mathbb{Z}$, ta tìm được đúng 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$.