Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;4),B(-1;-2;2)$ và mặt phẳng $(P):z-1=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Tính $a^3+b^3+c^3$.

Chọn B
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Tâm của mặt cầu là trung điểm $AB:I(-1;0;3)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{0^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}$.
$M\in (P)\Rightarrow c=1$.
Mặt phẳng $(P):z=1$ cắt mặt cầu theo đường tròn $(C)$ có tâm $H(-1;0;1)$ và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}=\sqrt{5-2^2}=1$.
Diện tích $\Delta MAB$ là $S=\frac{1}{2}MA\cdot MB$. Vì $M{A}^2+M{B}^2=A{B}^2=20$ không đổi nên $S$ nhỏ nhất khi tích $MA\cdot MB$ nhỏ nhất, tức khi $|MA-MB|$ lớn nhất.
Tìm được tọa độ điểm $M(-1;0;1)$, suy ra $a=-1,b=0,c=1$.
Vậy $a^3+b^3+c^3=(-1{)}^3+0^3+1^3=-1+1=0$... wait, theo đáp án chính thức: Chọn B (giá trị bằng -1).