Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;4]$, đồng biến trên đoạn $[1;4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2x\cdot f(x)=[f^{\prime }(x){]}^2,\forall x\in [1;4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$, tính $I={\int }_1^{4}f(x)dx$.