Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đúng bốn điểm chung với trục hoành như hình vẽ.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(|x{|}^3-3|x|+m+2023\right)+2023m$ có $11$ điểm cực trị?

Hàm số $g(x)=f\left(|x{|}^3-3|x|+m+2023\right)+2023m$ là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung $Oy$. Để hàm số $g(x)$ có $11$ điểm cực trị thì hàm số $h(x)=f(x^3-3x+m+2023)+2023m$ phải có đúng $5$ điểm cực trị dương.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $3$ điểm $t=-1$, $t=1$, $t=2$ (tại $t=4$ không đổi dấu). Xét $h^{\prime }(x)=3(x^2-1)f^{\prime }(x^3-3x+m+2023)=0$ trên $(0;+\infty )$, có $x=1$ là $1$ nghiệm đơn dương, nên các phương trình $x^3-3x+m+2023\in \{-1,1,2\}$ phải có tổng cộng $4$ nghiệm bội lẻ dương khác $1$.

Khảo sát $u(x)=x^3-3x$ trên $(0;+\infty )$ (đạt cực tiểu $u(1)=-2$ và $u(0)=0$), điều kiện là $-2<-1-m-2023<1-m-2023<0\le 2-m-2023$, suy ra $m=-2023$ là giá trị nguyên duy nhất.