Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ sao cho tương ứng với mỗi $y$ luôn tồn tại không quá $63$ số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện ${\log }_{2020}(x+y^2)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)\ge {\log }_4(x-y)$?

Điều kiện: $x>y$ và $x>-y^2$. Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y^2\ge y$, suy ra điều kiện xác định là $x>y$.

Chuyển vế và xét hàm số $f(x)={\log }_{2020}(x+y^2)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)-{\log }_4(x-y)$ trên $(y;+\infty )$, ta chứng minh được $f^{\prime }(x)<0,\forall x>y$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(y;+\infty )$.

Để có không quá $63$ số nguyên $x$ (tức là $x\in \{y+1;y+2;\dots ;y+63\}$) thỏa mãn $f(x)\ge 0$, điều kiện là $f(y+64)<0\iff {\log }_{2020}(y^2+y+64)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)<3$.

Do ${\log }_{2020}t+{\log }_{2021}t$ đồng biến và $\approx 3$ tại $t\approx 90754$, giải bất phương trình $y^2+y+64<t_0$ thu được $y\in \{-301;-300;\dots ;300\}$, có $602$ giá trị nguyên của $y$.