Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đúng $4$ điểm chung với trục hoành như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(|x{|}^3-3|x|+m+2023\right)+2023m$ có đúng $11$ điểm cực trị?

Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ đổi dấu qua $3$ nghiệm bội lẻ là $t=-1,t=1,t=2$ (nghiệm $t=4$ là nghiệm kép không đổi dấu). Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên có đúng $11$ điểm cực trị khi hàm số $g(x)=f\left(x^3-3x+m+2023\right)+2023m$ có đúng $5$ điểm cực trị dương. Xét $h(x)=x^3-3x+2023$ trên $(0;+\infty )$ có $1$ điểm cực tiểu là $x=1,h(1)=2021$ và $h(0)=2023$. Để $g(x)$ có $5$ điểm cực trị dương thì hệ phương trình $h(x)=-m-1;h(x)=-m+1;h(x)=-m+2$ phải có tổng cộng $4$ nghiệm dương bội lẻ khác $1$. Trường hợp 1: $2021<-m-1<2023\le -m+1<-m+2⟺-2024<m<-2022⟹m=-2023$. Trường hợp 2: $-m-1\le 2021<-m+1<-m+2<2023⟺-2021<m<-2020$ (không có $m\in \mathbb{Z}$). Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$.