Cho phương trình $z^2+az+b=0$ (với $a,b\in \mathbb{R}$) có hai nghiệm $z_1,z_2$ không là số thực; thỏa mãn hệ thức $i\cdot |z_1|=z_2+i-3$. Giá trị của $2a+b$ bằng

Vì phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm không thực nên $|z_1|=|z_2|$. Từ $z_2=3+(|z_1|-1)i$, ta suy ra phần thực của $z_2$ bằng $3$ và $|z_1{|}^2=|z_2{|}^2=3^2+(|z_1|-1{)}^2⟺2|z_1|=10⟺|z_1|=5$. Do đó $z_2=3+4i$ và $z_1=3-4i$. Theo định lí Vi-ét: $a=-(z_1+z_2)=-6$ và $b=z_1{z}_2=25$. Vậy $2a+b=2(-6)+25=13$.