Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=\frac{2x}{e^{x^2}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(-2)$.

Chọn A.

Nhân cả hai vế của phương trình với $e^{x^2/2}$:
$e^{x^2/2}{f}^{\prime }(x)+x{e}^{x^2/2}f(x)=2x{e}^{-x^2/2}\iff [e^{x^2/2}f(x){]}^{\prime }=2x{e}^{-x^2/2}$.
Lấy tích phân hai vế từ $-2$ đến $0$:
${\int }_{-2}^0[e^{x^2/2}f(x){]}^{\prime }dx={\int }_{-2}^{0}2x{e}^{-x^2/2}dx$.
Ta có $[e^{x^2/2}f(x){]}_{-2}^0=f(0)-e^{2}f(-2)=-2-e^{2}f(-2)$.
Vế phải: đặt $u=-x^2/2\Rightarrow du=-xdx$, tích phân bằng $-2{\int }_{-2}^0{e}^{u}du=-2(1-e^{-2})$.
Từ đó suy ra $f(-2)=-\frac{2}{e^4}$.