Cho các số phức $u,v,w$ thỏa mãn các điều kiện $|u+4-2i|=2$, $|3v-1+i|=|2v+1-i|$ và $|w|=|w+2+2i|$. Tìm $|w|$ khi $S=|u-w|+|v-w|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Chọn D.

Gọi $M,N,P$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $u,v,w$ trên mặt phẳng tọa độ.
- Tập hợp điểm $M$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-4;2)$, bán kính $R_1=2$.
- Đặt $v=x+yi$, biến đổi $|3v-1+i|=|2v+1-i|\iff x^2+y^2-2x+2y=0$, do đó tập hợp điểm $N$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(1;-1)$, bán kính $R_2=\sqrt{2}$.
- Điểm $P$ thỏa mãn $|w|=|w+2+2i|$ nên $P$ thuộc đường trung trực $d:x-y+2=0$ của đoạn nối gốc tọa độ và $(-2;-2)$.
Vì $(C_1)$ và $(C_2)$ nằm về hai phía của đường thẳng $d$, giá trị nhỏ nhất của $S=MP+NP$ đạt được khi $P$ là giao điểm của đường thẳng nối tâm $I_1{I}_2$ với $d$.
Phương trình đường thẳng $I_1{I}_2$ cắt $d$ tại điểm $P\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ hoặc qua tính tọa độ ta được $P\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow w=-\frac{1}{2}+i\Rightarrow |w|=\frac{\sqrt{5}}{2}$.