Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x^2-2x)$ như hình vẽ.

Hỏi hàm số $y=f(x^2-1)+\frac{2}{3}{x}^3+1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Ta có $f^{\prime }(x^2-2x)=f^{\prime }((x-1{)}^2-1)$.
Xét $g(x)=f(x^2-1)+\frac{2}{3}{x}^3+1\Rightarrow g^{\prime }(x)=2x[f^{\prime }(x^2-1)+x]$.
Đặt $x=t-1$, phương trình $f^{\prime }(x^2-1)+x=0$ trở thành $f^{\prime }((t-1{)}^2-1)=1-t$.
Vẽ đường thẳng $y=1-x$ cùng đồ thị $y=f^{\prime }((x-1{)}^2-1)$:Phương trình có các nghiệm: $x=-2$, $x=a-1\in (-1;0)$, $x=1$, $x=b-1\in (1;2)$.
Bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$:Suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;a-1)$. Vì $(-2;-1)\subset (-2;a-1)$, chọn đáp án D.