Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=0$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên dưới:


Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để hàm số $y=|2f(\sin x)-3\cos 2x-a+9|$ đồng biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$?

Chọn D.

Biến đổi biểu thức trong trị tuyệt đối:
$2f(\sin x)-3(1-2{\sin }^{2}x)-a+9=2f(\sin x)+6{\sin }^{2}x+6-a$.
Đặt $t=\sin x$, với $x\in (0;\frac{\pi }{2})$ thì $t\in (0;1)$.
Xét hàm số $g(t)=2f(t)+6t^2+6$ trên $[0;1]$. Ta có $g^{\prime }(t)=2f^{\prime }(t)+12t>0,\forall t\in (0;1)$ do đồ thị $f^{\prime }(t)>-6t$.
Do đó $g(t)$ đồng biến trên $[0;1]$, suy ra ${\min }_{[0;1]}g(t)=g(0)=2f(0)+6=6$.
Hàm số đồng biến khi $a\le \min g(t)=6$.
Vì $a$ nguyên dương nên $a\in \{1,2,3,4,5,6\}$. Có đúng 6 giá trị nguyên dương.