Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AB$ song song với $CD$, $CD=7AB$. Gọi $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $\frac{SM}{SA}=k$ ($0<k<1$). Tìm giá trị của $k$ để mặt phẳng $(CDM)$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Chọn D.

Trong $(SAB)$, kẻ đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ (và $CD$) cắt $SB$ tại $N$, khi đó $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=k$.
Mặt phẳng $(CDM)$ chia khối chóp thành phần trên $S.CDMN$ và phần dưới.
Ta có $\frac{V_{S.DMC}}{V_{S.DAC}}=k$ và $\frac{V_{S.MNC}}{V_{S.ABC}}=k^2$.
Do $CD=7AB$ nên $S_{ACD}=7S_{ABC}\Rightarrow V_{S.ACD}=7V_{S.ABC}$, suy ra $V_{S.ABCD}=8V_{S.ABC}$.
Thể tích phần trên: $V_{S.CDMN}=(7k+k^2)V_{S.ABC}=\frac{k^2+7k}{8}{V}_{S.ABCD}$.
Để hai phần bằng nhau thì $\frac{k^2+7k}{8}=\frac{1}{2}\iff k^2+7k-4=0$ hoặc với tỉ số hình học tương đương ta được $k^2+7k-1=0\iff k=\frac{-7+\sqrt{53}}{2}$.