Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=1$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình sau:

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $a\in [-10;10]$ để hàm số $y=|2f(\cos x)-\cos 2x-a|$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

Đặt $t=\cos x$. Khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $t\in (0;1)$ và $t(x)$ nghịch biến. Xét $h(t)=2f(t)-(2t^2-1)-a=2f(t)-2t^2+1-a$ trên $(0;1)$. Để $y=|h(\cos x)|$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $|h(t)|$ đồng biến trên $(0;1)$. Từ đồ thị $f^{\prime }(t)$ trên $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(t)<0<2t\Rightarrow h^{\prime }(t)=2[f^{\prime }(t)-2t]<0$, tức $h(t)$ nghịch biến trên $(0;1)$. Do đó $|h(t)|$ đồng biến trên $(0;1)\iff h(0)\le 0\iff 2f(0)+1-a\le 0\iff a\ge 3$. Kết hợp $a\in [-10;10],a\in \mathbb{Z}$, có $8$ giá trị nguyên ($a\in \{3,4,\dots ,10\}$).