Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $g(x)=f^{\prime }(x^3+2)$ có bảng xét dấu như sau



Có bao nhiêu số nguyên $m\in [-2023;2023]$ để hàm số $y=f(x-m)$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$?

Ta có $g(x)=0\iff f^{\prime }(x^3+2)=0\iff x\in \{-2;0;2;3\}$.

Suy ra các nghiệm của $f^{\prime }(u)=0$ là:
- $x=-2\Rightarrow u=(-2{)}^3+2=-6$.
- $x=0\Rightarrow u=0^3+2=2$.
- $x=2\Rightarrow u=2^3+2=10$.
- $x=3\Rightarrow u=3^3+2=29$.

Xét hàm số $h(x)=f(x-m)\Rightarrow h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-m)$.
$h^{\prime }(x)=0\iff x-m\in \{-6;2;10;29\}\iff x\in \{m-6;m+2;m+10;m+29\}.$

Vì hệ số cao nhất dương và đạo hàm đổi dấu khi qua các nghiệm đơn, hàm số $h(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;m-6)$ và $(m+2;m+10)$.

Để hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ thì $(-\infty ;0)\subset (-\infty ;m-6)\iff m-6\ge 0\iff m\ge 6$.

Kết hợp $m\in [-2023;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{6;7;\dots ;2023\}$, có $2023-6+1=2018$ giá trị nguyên thỏa mãn.