Có bao nhiêu số nguyên $a$ để tồn tại số phức $z$ thỏa mãn $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=16$ và $|iz-4|=a$?

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $z+\bar{z}=2x$, $z-\bar{z}=2yi$.

Điều kiện $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=16\iff 2|x|+2|y|=16\iff |x|+|y|=8$.

Tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là các cạnh của hình vuông $ABCD$ với các đỉnh $A(8;0),B(0;8),C(-8;0),D(0;-8)$.

Điều kiện thứ hai: $|iz-4|=a\iff |i(x+yi)-4|=a\iff |-y-4+xi|=a\iff x^2+(y+4{)}^2=a^2$ (với $a\ge 0$).

Đây là phương trình đường tròn tâm $I(0;-4)$, bán kính $R=a$.

Để tồn tại số phức $z$ thì đường tròn $(I;a)$ và hình vuông $ABCD$ phải có điểm chung. Ta có khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến các cạnh hình vuông là khoảng cách từ $I(0;-4)$ đến đường thẳng chứa cạnh $CD:x-y-8=0$:
$d(I,CD)=\frac{|0-(-4)-8|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$
Khoảng cách lớn nhất từ $I$ đến các đỉnh của hình vuông là $IB=|8-(-4)|=12$.

Do đó: $2\sqrt{2}\le a\le 12$. Vì $a$ nguyên nên $a\in \{3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$.

Vậy có $12-3+1=10$ số nguyên $a$ thỏa mãn.