Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$ (hàm bậc ba): đồ thị có điểm uốn/đặc trưng qua các điểm $(-3;-4)$, $(-2;0)$ (tiếp xúc trục hoành, cực đại), $(-1;-2)$, $(0;-4)$ (cực tiểu), và cắt trục hoành tại $x=1$. Vì $f^{\prime }(x)$ có cực đại tại $x=-2$ và cực tiểu tại $x=0$ nên $f^{\prime }(x)=a(x+2{)}^2(x-1)+c$ dạng $f^{\prime }(x)=a{x}^3+3a{x}^2+cx+d$ với $f^{\prime }(0)=-4\Rightarrow d=-4$, và $f^{\prime }(-1)=-2\Rightarrow -a+3a-4=-2\Rightarrow a=1$, $c=0$. Vậy $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2{)}^2$. Kiểm tra: $f^{\prime }(-3)=-4$, $f^{\prime }(-2)=0$, $f^{\prime }(1)=0$ khớp đồ thị.

a) $f^{\prime }(2)=8+12-4=16\ne 48$ → Sai.
b) Trên $(0;1)$: $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2{)}^2<0$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;1)$, do đó không đồng biến trên $(0;+\infty )$ → Sai.
c) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x-1)(x+2{)}^2-(x-1)=(x-1)[(x+2{)}^2-1]=(x-1)(x+1)(x+3)$. Với $x\in (1;2026)$: $x-1>0$, $x+1>0$, $x+3>0$ nên $g^{\prime }(x)>0$ → $g$ đồng biến → Đúng.
d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$; tại $x=-2$ đạo hàm không đổi dấu (nghiệm kép, $f^{\prime }\le 0$ quanh $x=-2$), chỉ tại $x=1$ đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$. Vậy $f$ có duy nhất một điểm cực trị → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4$ (thỏa các điểm $(-2;0)$, $(-1;-2)$, $(0;-4)$, $(1;0)$ trên đồ thị), ta có $f^{\prime }(2)=16\ne 48$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2{)}^2<0$ trên $(0;1)$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;1)$, do đó không đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x-1)(x+1)(x+3)>0$ với mọi $x\in (1;2026)$, nên $g$ đồng biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ có nghiệm $x=-2$ (kép, không đổi dấu) và $x=1$ (đổi dấu từ $-$ sang $+$), nên $f$ có duy nhất một điểm cực trị tại $x=1$.