Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x)=f(x)+\frac{x^3}{24}+\frac{x^2}{8}-\frac{3x}{8}$. Bất phương trình $g(x)\le m$ có nghiệm trên đoạn $[-2;2]$ khi và chỉ khi

Ta có $g(x)=f(x)+\frac{x^3}{24}+\frac{x^2}{8}-\frac{3x}{8}$.
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+\frac{x^2}{8}+\frac{x}{4}-\frac{3}{8}$.
Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta có $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(-2)=\frac{3}{8}\\ f^{\prime }(0)=\frac{3}{8}\\ f^{\prime }(2)=-\frac{5}{8}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(-2)=0\\ g^{\prime }(0)=0\\ g^{\prime }(2)=0.\end{array}$

Vẽ parabol $(P):y=-\frac{x^2}{8}-\frac{x}{4}+\frac{3}{8}$ trên cùng hệ trục tọa độ.
$(P)$ đi qua các điểm $\left(-2;\frac{3}{8}\right),\left(0;\frac{3}{8}\right),\left(2;\frac{-5}{8}\right)$ và có đỉnh $I\left(-1;\frac{1}{2}\right)$.
Dựa vào đồ thị trên ta có trên $(-2;0)$ thì $g^{\prime }(x)<0$, trên $(0;2)$ thì $g^{\prime }(x)>0$.
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là $g(0)$.
Bất phương trình $g(x)\le m$ có nghiệm trên đoạn $[-2;2]$ khi và chỉ khi ${\min }_{[-2;2]}g(x)\le m\iff g(0)\le m$. Chọn đáp án C.