Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình bên. Đặt $g(x)=2f(x)-(x-1{)}^2$.

[IMAGE_1]

Khi đó $y=g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;3]$ tại

Ta có $g(x)=2f(x)-(x-1{)}^2\Rightarrow g^{\prime }(x)=2(f^{\prime }(x)-(x-1))$. Vẽ đồ thị hàm số $y=x-1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$.

[IMAGE_1]

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+ ${\int }_{-3}^1{g}^{\prime }(x)\mathrm{d}x>0\Rightarrow g(1)>g(-3)$; ${\int }_1^3{g}^{\prime }(x)\mathrm{d}x<0\Rightarrow g(1)>g(3)$. Do đó $y=g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;3]$ tại $x=3$ hoặc $x=-3$.

+ Phần hình phẳng giới hạn bởi $y=f^{\prime }(x);y=x-1;x=-3;x=1$ có diện tích lớn hơn phần hình phẳng giới hạn bởi $y=f^{\prime }(x);y=x-1;x=1;x=3$ nên ${\int }_{-3}^1|g^{\prime }(x)|\mathrm{d}x>{\int }_1^3|g^{\prime }(x)|\mathrm{d}x\Rightarrow g(3)>g(-3)$.

Vậy $y=g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3;3]$ tại $x=-3$.