Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-12{)}^{2022}(x^2-2x)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in (-2021;2021)$ để hàm số $y=f(x^2-2022x+2021m)$ có $3$ điểm cực trị dương.

$f^{\prime }(x)=(x-12{)}^{2022}(x^2-2x)$ đổi dấu qua $x=0$ và $x=2$ ($x=12$ là nghiệm bội chẵn).

Xét hàm số $g(x)=f(x^2-2022x+2021m)⟹g^{\prime }(x)=(2x-2022)f^{\prime }(x^2-2022x+2021m)$.

Các nghiệm bội lẻ của $g^{\prime }(x)=0$ là $x=1011>0$ và các nghiệm đơn của:

$[\begin{array}{l}{x}^2-2022x=-2021m\\ x^2-2022x=2-2021m\end{array}$

Xét hàm số $h(x)=x^2-2022x$ trên $(0;+\infty )$ có đỉnh tại $x=1011,h(1011)=-1011^2$ và $h(0)=0$.

Để hàm số $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị dương (với $m\in \mathbb{Z}$) thì cả hai đường thẳng $y=-2021m$ và $y=2-2021m$ đều cắt nhánh $x\ge 2022$ tại mỗi đường $1$ điểm dương, tức là $-2021m\ge 0⟺m\le 0$.

Kết hợp $m\in (-2021;2021)$ và $m\in \mathbb{Z}⟹m\in \{-2020;-2019;\dots ;0\}$ gồm $2021$ giá trị nguyên.