Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$ và $2$ mặt cầu $(S_1):(x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=1,(S_2):(x+4{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=4$. Gọi $M,A(a;b;c),B$ lần lượt thuộc $(P),(S_1),(S_2)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất? Tính $a-b+c$?

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I(2;0;-1)$, bán kính $R_1=1$. Mặt cầu $(S_2)$ có tâm $J(-4;-2;3)$, bán kính $R_2=2$.

Ta có $IJ=2\sqrt{14}>R_1+R_2$ và $(S_1),(S_2)$ nằm khác phía so với mặt phẳng $(P)$.

Gọi $C,D$ lần lượt là giao điểm của đoạn $IJ$ với $(S_1)$ và $(S_2)$.

Đường thẳng $IJ$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=t\\ z=-1-2t\end{array}$.

Tọa độ $C$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x=2+3t,y=t,z=-1-2t\\ (x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=1\\ d(C,(P))<d(I,(P))\end{array}⟺t=-\frac{\sqrt{14}}{14}$.

Suy ra $A\equiv C\left(2-\frac{3\sqrt{14}}{14};-\frac{\sqrt{14}}{14};-1+\frac{2\sqrt{14}}{14}\right)⟹a-b+c=2-\left(-1\right)-\frac{3\sqrt{14}-\sqrt{14}-2\sqrt{14}}{14}=1$.