Cho hàm số $y=f(x)=\frac{-x^2-x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

a) Đúng. Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$; $y=\frac{-x^2-x+1}{x-1}=-x-2-\frac{1}{x-1}$.
Ta có $y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{-x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.

b) Sai. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }[y-(-x-2)]={\lim }_{x\to -\infty }\frac{-1}{x-1}=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }[y-(-x-2)]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-1}{x-1}=0$ nên đường thẳng $y=-x-2$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Sai. Ta có $y^{\prime }>0\iff \frac{-x^2+2x}{(x-1{)}^2}>0\iff \left[\begin{array}{c}0<x<1\\ 1<x<2\end{array}\right]$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

d) Sai. Hai điểm cực trị của đồ thị là $A(0;-1),B(2;-5)$. Diện tích tam giác $OAB$ là: $S=\frac{1}{2}OA\cdot d(B;Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$.