Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$. Đúng.

b) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+2$, tâm đối xứng là giao $I(1;3)$. Đúng.

c) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$: âm trên $(-\infty ;0)$, dương trên $(0;1)\cup (1;2)$, âm trên $(2;+\infty )$; cực tiểu $y(0)=1$, cực đại $y(2)=5$. Tuy nhiên giới hạn một bên: ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ (vì $\frac{1}{x-1}\to \mp \infty$). Bảng biến thiên trong đề lại ghi $+\infty$ bên trái $x=1$ và $-\infty$ bên phải, tức hai giới hạn bị đổi chỗ. Sai.

d) Hai điểm cực trị $A(0;1)$, $B(2;5)$. Đường thẳng $AB$ qua hai điểm này: $y=2x+1$, tức $2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (khớp đáp án nguồn ĐĐSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Viết $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, suy ra $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+2$, tâm đối xứng $I(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chiều biến thiên và các cực trị đúng (cực tiểu $y(0)=1$, cực đại $y(2)=5$) nhưng giới hạn một bên tại $x=1$ bị đảo: ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, nên bảng đã cho sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị $A(0;1)$, $B(2;5)$, đường $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.