Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(q)=-q^3+24q^2+780q-5000$ (nghìn đồng) trong đó $q$ (kg) là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50 kg sản phẩm trong một tuần.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(q)=-q^3+24q^2+780q-5000$ trên $[0;50]$. Có $P^{\prime }(q)=-3q^2+48q+780=-3(q^2-16q-260)=-3(q-26)(q+10)$. Trên $[0;50]$, $P^{\prime }(q)>0$ khi $0\le q<26$ và $P^{\prime }(q)<0$ khi $26<q\le 50$. a) Sai: trên $(26;50]$ hàm số nghịch biến nên sản xuất thêm lợi nhuận giảm. b) Đúng: $P$ đạt cực đại (và là GTLN trên $[0;50]$) tại $q=26$ kg, $P(26)=-17576+16224+20280-5000=13928$ nghìn đồng. c) Đúng: với $q>26$, $P^{\prime }(q)<0$ nên lợi nhuận giảm. d) Đúng: $P(10)=-1000+2400+7800-5000=4200$ nghìn đồng. Kết quả khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(q)=-3(q-26)(q+10)$; trên $(26;50]$ thì $P^{\prime }(q)<0$ nên hàm nghịch biến, sản xuất nhiều hơn thì lợi nhuận giảm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(q)=0\Rightarrow q=26$ (nhận $q=-10$ loại). $P$ tăng trên $[0;26)$, giảm trên $(26;50]$ nên GTLN tại $q=26$, $P(26)=13928$ nghìn đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $q\in (26;50]$, $P^{\prime }(q)<0$ nên lợi nhuận giảm dần khi sản xuất thêm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(10)=-1000+2400+7800-5000=4200$ nghìn đồng.