Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả các điểm $A$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ cắt trục hoành và $(C)$ lần lượt tại 2 điểm phân biệt $M,N$ ($N\ne A$) thỏa mãn $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

$A$ thuộc đồ thị $(C):y=x^3-3x⟹A(a;a^3-3a)$

Gọi $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $A$. Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3⟹$ hệ số góc của tiếp tuyến $d$ là:

$$k=3a^2-3⟹\text{pttt }d:y=(3a^2-3).(x-a)+a^3-3a=(3a^2-3).x-2a^3$$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(C)$ và $d$:

$$x^3-3x=(3a^2-3).x-2a^3⟺x^3-3a^2.x+2a^3=0⟺(x-a{)}^2.(x+2a)=0⟺\{\begin{array}{l}x=a\\ x=-2a\end{array}$$

Từ đây suy ra tiếp tuyến $d$ cắt (C) tại điểm $N$ $(N\ne A)$ có hoành độ $x_N=-2a$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và trục hoành $Ox$ $(y=0)$:

$$(3a^2-3).x-2a^3=0(1)⟺x=\frac{2a^3}{3a^2-3}$$

$(3a^2-3\ne 0$ vì nếu $3a^2-3=0$ thì phương trình (1) vô nghiệm, điều này là vô lý vì pt (1) luôn có nghiệm là hoành độ của điểm $M)$

$\Rightarrow$ hoành độ của điểm $M$ là: $x_M=\frac{2a^3}{3a^2-3}$

Vì $A$ là trung điểm của đoạn $MN$ nên:

$$x_M+x_N=2x_A⟺\frac{2a^3}{3a^2-3}+(-2a)=2a(2)$$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $a=0\Rightarrow$ (2) đúng $\Rightarrow$ pttt $d:y=-3x$. Khi đó, 2 điểm $M$, $N$ có tọa độ đều là $(0;0)\Rightarrow$ điều này vô lý vì $M$, $N$ là 2 điểm phân biệt $\Rightarrow$ loại $a=0$.

Trường hợp 2: $a\ne 0$. Ta có:

$$(2)⟺\frac{a^2}{3a^2-3}-1=1⟺\{\begin{array}{l}a=\sqrt{\frac{6}{5}}\\ a=-\sqrt{\frac{6}{5}}\end{array}$$

- Với $a=\sqrt{\frac{6}{5}}$, hoành độ 2 điểm $M,N$ là: $x_M=\frac{4\sqrt{30}}{5};x_N=-2.\sqrt{\frac{6}{5}}\Rightarrow x_M\ne x_N$

$\Rightarrow$ thỏa điều kiện $M\ne N\Rightarrow$ nhận $a=\sqrt{\frac{6}{5}}\Rightarrow A\left(\sqrt{\frac{6}{5}};-\frac{9\sqrt{30}}{25}\right)$

- Với $a=-\sqrt{\frac{6}{5}}$, hoành độ 2 điểm $M,N$ là: $x_M=-\frac{4\sqrt{30}}{5};x_N=2.\sqrt{\frac{6}{5}}\Rightarrow x_M\ne x_N$

$\Rightarrow$ thỏa điều kiện $M\ne N\Rightarrow$ nhận $a=-\sqrt{\frac{6}{5}}\Rightarrow A\left(-\sqrt{\frac{6}{5}};\frac{9\sqrt{30}}{25}\right)$

Vậy có 2 điểm $A$ thỏa yêu cầu là:

$$\left(\sqrt{\frac{6}{5}};-\frac{9\sqrt{30}}{25}\right);\left(-\sqrt{\frac{6}{5}};\frac{9\sqrt{30}}{25}\right)$$