Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x+m$ $(C)$, với $m$ là tham số. Giả sử đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1<x_2<x_3$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xét hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Hai điểm cực trị là $x=1$ ($y_{CD}=4+m$) và $x=3$ ($y_{CT}=m$). Để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì $y_{CD}>0>y_{CT}\iff -4<m<0$. Khi đó đồ thị hàm số có $f(0)=m<0,f(1)=4+m>0,f(3)=m<0,f(4)=4+m>0$. Do đó phương trình có các nghiệm nằm trong các khoảng: $x_1\in (0;1),x_2\in (1;3),x_3\in (3;4)$. Vậy $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$. Chọn C.