Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số $y=f(3x+1)-x^3+3x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xét hàm số $g(x)=f(3x+1)-x^3+3x$. Đạo hàm $g^{\prime }(x)=3f^{\prime }(3x+1)-3x^2+3=3[f^{\prime }(3x+1)+(1-x^2)]$. Với $x\in \left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, ta có $3x+1\in (2;3)$. Dựa vào bảng xét dấu, với $u\in (2;3)$ thì $f^{\prime }(u)>0$. Mặt khác với $x\in \left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$ thì $x^2<1⟹1-x^2>0$. Do đó $g^{\prime }(x)>0,\forall x\in \left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, tức là hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Chọn B.