Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2+2$, có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=2$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-8+12+2=6$. a) ĐÚNG: điểm cực tiểu là $(2;6)$. b) SAI: với $x\in (0;2)$, $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$, không nghịch biến. c) SAI: hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, đường thẳng qua chúng có hệ số góc $\frac{6-2}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+2$, không phải $y=2x-1$. d) SAI: đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $2$; để vuông góc cần $(2m+1)\cdot 2=-1\iff m=-\frac{3}{4}\ne 2$.
a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì $a=-3<0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-8+12+2=6$. Vậy điểm cực tiểu là $(2;6)$: ĐÚNG.
b) Với $x\in (0;2)$: $x>0$ và $x-2<0$ nên $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;2)$, mệnh đề nghịch biến là SAI.
c) Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$. Đường thẳng qua chúng có hệ số góc $\frac{6-2}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+2$, không phải $y=2x-1$: SAI.
d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $2$. Để $d$ vuông góc với nó cần $(2m+1)\cdot 2=-1\iff 2m+1=-\frac{1}{2}\iff m=-\frac{3}{4}\ne 2$: SAI.