Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $A{A}^{\prime }=AB=a$, $AD=2a$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;2a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;2a;a)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}|}{|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}||\overrightarrow{B{C}^{\prime }}|}=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Suy ra $\sin \phi =\frac{3}{\sqrt{10}}$, do đó $\tan \phi =\frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}}=3$. Vậy tang của góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng $3$.