Một tấm nhôm có dạng nửa hình tròn có bán kính $R=3$, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (như hình vẽ). Diện tích lớn nhất có thể của tấm nhôm hình chữ nhật là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $R=3$ trên trục $Ox$, hình chữ nhật $MNPQ$ có hai đỉnh $M,N$ trên cung, hai đỉnh $Q,P$ trên đường kính. Gọi $P$ có hoành độ $x$ với $0<x<3$, khi đó chiều rộng $QP=2x$ và chiều cao $NP=y=\sqrt{9-x^2}$.

Diện tích: $S(x)=2x\sqrt{9-x^2}$.

Xét $S^2(x)=4x^2(9-x^2)=36x^2-4x^4$. Đặt $t=x^2$, hàm $f(t)=36t-4t^2$ đạt max tại $t=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$, tức $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.

Khi đó $y=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$ và $S_{\max }=2\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=9$.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là $9$.