Cho hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y\ge 5\\ x-2y\le 2\\ y\le 3\end{array}(I)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình $(I)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x;y)=2x-5y$ trên miền nghiệm của hệ (I): $x+y\ge 5$, $x-2y\le 2$, $y\le 3$. Miền này là miền lồi không bị chặn, có 3 đỉnh: giao của $x+y=5$ và $y=3$ là $A(2;3)$; giao của $x-2y=2$ và $y=3$ là $B(8;3)$; giao của $x+y=5$ và $x-2y=2$ là $C(4;1)$. Tính $f$: $f(A)=4-15=-11$, $f(B)=16-15=1$, $f(C)=8-5=3$. Vì $f$ tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền đạt tại đỉnh, do đó $\min f=-11$ tại $A(2;3)$ (khi $y\to -\infty$, $x\ge 5-y\to +\infty$ nên $f\to +\infty$, không có giá trị nhỏ hơn). Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ thuộc miền khi và chỉ khi $m\ge -\min f=11$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $11$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Phần III câu 1 = 11).