Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DC,AB$; $P$ là giao điểm của $AM$, $DB$ và $Q$ là giao điểm của $CN$, $DB$. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$, suy ra $C(1,1)$, $M$ trung điểm $DC$ là $(0,5;1)$, $N$ trung điểm $AB$ là $(0,5;0)$.

A) $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{NB}$: $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{NB}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ trong hình bình hành). Vậy A đúng.

B) $P$ là giao của $AM$ và $DB$: đường $AM$ đi qua $A(0,0)$ và $M(0,5;1)$; đường $DB$ đi qua $D(0,1)$, $B(1,0)$, có phương trình $x+y=1$. Đường $AM$: $y=2x$, thay vào: $3x=1\Rightarrow x=1/3$? Kiểm tra lại: $M(0,5;1)$ nên $y=2x$, giao với $x+y=1$: $3x=1$, $x=1/3$, $y=2/3$. Tương tự $Q$ là giao của $CN$ (từ $C(1,1)$ đến $N(0,5;0)$, phương trình $y=2x-1$) với $DB$: $3x=2$, $x=2/3$, $y=1/3$.

Vậy $P(1/3;2/3)$, $Q(2/3;1/3)$, $P\ne Q$. Trên $DB$: $D(0,1)\to P(1/3;2/3)\to Q(2/3;1/3)\to B(1,0)$, thực ra $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QB}=(1/3;-1/3)$ đều bằng nhau! Kiểm tra: $\overrightarrow{DP}=(1/3,-1/3)$, $\overrightarrow{PQ}=(1/3,-1/3)$, $\overrightarrow{QB}=(1/3,-1/3)$. Vậy B cũng đúng.

Suy ra cả A và B đều đúng, đáp án là C.