Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau, các cạnh $AB=AC=SA=SB=2a$. Tìm độ dài cạnh $SC$, biết khối chóp $S.ABC$ có thể tích bằng $a^3$.

Gọi $SC=x$.

Gọi $H$ là trung điểm của $SB$. Vì $(SBC)\perp (ABC)$ và $AS=AB=AC=2a$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SBC$, suy ra $△SBC$ vuông tại $C$, do đó $SC\perp SB$.
Trong tam giác vuông $SBC$:
$$BC=\sqrt{S{B}^2-S{C}^2}=\sqrt{4a^2-x^2}$$
Trong tam giác vuông $ABH$ có $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$ (hoặc tính theo đường cao $AH\perp (SBC)$):
$$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}AH\cdot S_{SBC}=\frac{1}{3}AH\cdot \left(\frac{1}{2}SB\cdot SC\right)=a^3$$
Giải phương trình tìm được $x=a\sqrt{6}$.
Vậy độ dài cạnh $SC=a\sqrt{6}$.
Chọn đáp án D.