Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Nhận thấy: $(SA,(ABC))=\widehat{SAO}$, $(SB,(ABC))=\widehat{SBO}$ và $(SC,(ABC))=\widehat{SCO}$.
Do các góc này bằng nhau nên suy ra $OA=OB=OC$ hay $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30^{\circ }$.
Khi đó: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=2OA\Rightarrow OA=\frac{AB}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{a}{2\cdot \frac{1}{2}}=a$.
Ta có: $SO=OA\cdot \tan 30^{\circ }=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{12}$.