Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB=BC=a\sqrt{3}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$:


Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Chọn D.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $SB$.
Do $\Delta SAB$ vuông tại $A$ nên $IS=IA=IB$.
Do $\Delta SCB$ vuông tại $C$ nên $IS=IC=IB$.
Suy ra $IS=IA=IB=IC=R$, do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IB=\frac{SB}{2}$.
Tính toán qua khoảng cách ta tìm được bán kính $R=a\sqrt{3}$.
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi (a\sqrt{3}{)}^2=12\pi a^2$.