Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=1\text{ cm}$, $AC=\sqrt{2}\text{ cm}$; $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, góc giữa $BC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$, với đơn vị là $\text{cm}$ (centimet) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Vì $SB\perp AB$ và $SC\perp AC$ nên $HB\perp AB$ và $HC\perp AC$, suy ra tứ giác $ABHC$ là hình chữ nhật với $HB=AC=\sqrt{2}\text{ cm}$, $HC=AB=1\text{ cm}$, $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3}\text{ cm}$.
Gọi $F$ là hình chiếu của $H$ trên $SB$ và đặt $SH=x>0$. Ta có $d(C,(SAB))=d(H,(SAB))=HF=\frac{HB\cdot SH}{\sqrt{H{B}^2+S{H}^2}}=\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+2}}$. Vì góc giữa $BC$ và $(SAB)$ bằng $45^{\circ }$ nên $\sin 45^{\circ }=\frac{d(C,(SAB))}{BC}\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{3(x^2+2)}}\iff x=\sqrt{6}$.
Kẻ đường thẳng $\Delta$ qua $A$ song song với $BC$, gọi $E$ là hình chiếu của $H$ trên $\Delta$ và $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SE$. Khi đó $HE=2HI=\frac{2HB\cdot HC}{\sqrt{H{B}^2+H{C}^2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$, suy ra $HK=\frac{SH\cdot HE}{\sqrt{S{H}^2+H{E}^2}}=\frac{2\sqrt{78}}{13}$. Vì $O=HA\cap BC$ là trung điểm của $HA$ nên $d(BC,SA)=d(O,(SAE))=\frac{1}{2}d(H,(SAE))=\frac{1}{2}HK=\frac{\sqrt{78}}{13}\approx 0,68\text{ cm}$.